<<<<تفاضل>>>>>

تذكير بمساهمة فاتح الموضوع :

حساب التفاضل (بالإنكليزية: Differential calculus) هو فرع من فروع الرياضيات يندرج تحت حساب التفاضل والتكامل (Calculus)، يختص بدراسة معدل تغير دالة ما (ولتكن (y = ƒ(x) بالنسبة للمتغير المستقل (x). أول المسائل التي يعني هذا الفرع الرياضي بدراستها هو الاشتقاق. مشتقة الدالة (y = ƒ(x عند نقطة ما تصف السلوك الرياضي والهندسي للدالة عند هذه النقطة أوعند النقاط القريبة جدًا منها، والمشتقة الأولى للدالة عند نقطة معينة تساوي قيمة ميل المماس للدالة عند هذه النقطة، وبصفة عامة فإن المشتقة الأولى للدالة عند نقطة معينة تمثل أفضل "تقريب خطي" للدالة عند هذه النقطة.
عملية إيجاد المشتقات تسمى "التفاضل"، والنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل تنص على أن التفاضل هو العملية العكسية للتكامل، تماما كما تعد عمليتا القسمة والطرح عمليتين عكسيتين للضرب والجمع على التوالي.
للتفاضل تطبيقات متعددة، ففي الفيزياء مثلا: المعدل الزمني للتغير في إزاحة جسيم متحرك هي سرعة الجسيم والمعدل الزمني للتغير في الإزاحة هو تفاضلها بالنسبة للزمن، أما تفاضل السرعة بالنسبة للزمن فيعطي العجلة، وللتفاضل أهمية أيضًا في قوانين نيوتن فالقانون الثاني ينص على أن القوة هي المعدل الزمني للتغير في كمية التحرك (أي تفاضل كمية التحرك بالنسبة للزمن)، كذلك من تطبيقاته إيجاد معدل التفاعل لتفاعل كيميائي، وفي بحوث العمليات تحدد المشتقات أوالتفاضلات الطرق المثلى لتصميم المصانع ونقل المواد أو الخامات أو المنتجات.
تستخدم المشتقات في إيجاد القيم العظمى والصغرى للدالة. المعادلات التي تتضمن تفاضلات (مشتقات) تسمى المعادلات التفاضلية، وهي من المعادلات الأساسية والهامة في توصيف الظواهر الطبيعية. تظهر المشتقات في العديد من مجالات الرياضيات كالتحليل العقدي، والتحليل الدالي، والهندسة التفاضلية، ونظرية القياس، والجبر المجرد.




يعتمد التفاضل على إيجاد معادلة لإيجاد الميل عند نقطة معينة عن طريق تقليل الفرق بين التغير في قيم س إلى صفر تقريبا وهذا هو الاشتقاق
إذ أن قاعدة الميل هي: Δص\Δس (m=ΔyΔx)
إذن Δس تؤول إلى صفر (Δx→0)
أي أن س2-س1---->صفر (x2−x1→0) أي أن س2---->س1 (x2→x1)
وبما أن Δس لا تساوي صفر ولكن تقترب منها فإن القيمة لا تصبح غير معرفة (Δx→0)
أي أن Δص\Δس : Δس---->صفر (ΔyΔx⟹Δx→0)
= ص2-ص1\س2-س1 : س2---->س1 (⟹y2−y1x2−x1⟹x2→x1)
= ق(س2)-ق(س1)\س2-س1 : س2---->س1 (⟹f(x2)−f(x1)x2−x1⟹x2→x1)
ومن هنا نستنتج أن الاشتقاق هو ميل مماس نقطة معينة في المنحنى، ونستنتج أيضا أن المماس ليس مارا
بنقطة واحدة، وإنما بنقطتين البعد السيني بينهما قريب جدا من الصفر أي أنه يؤول إلى الصفر.
طريقة الحل[عدل]
نقوم بالاشتقاق معتمدين على حساب النهايات وفرض متغيرات مختلفة، فمثلا:
كمتغيرات:
Δس = س2 - س1
س1 = س2 - Δس
س2 = Δس + س1
ونفرض Δس = هـ
أو يمكننا فرض س2 = ج
ونقوم بدلا من كتابة ص بكتابة ق(س)
أي أن المعادلة النهائية هي:
ق(س2) - ق(س1)\س2 - س1 : س2---->س1 = ق(س + هـ) - ق(س)\هـ : هـ---->صفر = ق(ج) - ق(س)\ج - س : ج---->س1
مثال[عدل]
أوجد مشتقة س²
وحسب القانون : ق(س+هـ)-ق(س)\هـ : هـ---->صفر
ونعوض في المعادلة
س²+2س هـ+هـ²-س²\هـ : هـ---->صفر
نحل المعادلة
س²-س²+هـ(2س+هـ)\هـ : هـ---->صفر
= هـ(2س+هـ)\هـ : هـ---->صفر
= 2س+هـ : هـ---->صفر
= 2س
وفعلا مشتقة س² = 2س
وكقاعدة عامة، فإن مشتقة أي كثير حدود درجته أكبر من صفر هي:
ق(س) = أسع+ب س(ع-1)+...+ج
قَ(س) = (أ×ع)س(ع-1)+(ب(ع-1))س(ع-2)+...+0

يعطيك العافيه

ع الموضوع

شرفتم موضوعي

روعة
يعطيك العافية
على
الطرح

بارك الله فيك
سلمت يمينك
شكرا

يعطييكي الف عافية على المجهود الرائع

شكرا على الطرح

مميز شكرا ع الطرح